几何

几个世纪后,看似简单的数学问题得到了精确的解决方案

数学家长期以来一直在思考束缚在栅栏上的放牧真人麻将的触角,直到现在才找到大概的答案。
一只黑真人麻将与一条红色的皮带,在两个圆圈的交叉处放牧的插图

达珀茅斯 广达杂志

这是一个简单的问题:想象一下围成一英亩草的圆形围栏。如果您将真人麻将绑在栅栏的内部,您需要用多长时间的绳索才能使动物准确进入半英亩的土地?

听起来像是高中几何,但数学家和数学爱好者已经以各种形式思考这个问题已有270多年了。尽管他们成功地解决了某些问题,但“围成一圈的难题”拒绝给出除模糊,不完整的答案以外的任何内容。

即使在所有这些时间之后,“没人知道基本的原始问题的确切答案”, 马克·迈耶森,是美国海军学院的名誉数学家。 “解决方案仅是大致给出的。”

但是今年早些时候,一位德国数学家叫Ingo Ullisch 终于取得了进展,找到什么被认为是解决该问题的第一个确切方法,尽管即使这以笨拙,读者不友好的形式出现也是如此。

“ [这]是我所知道的[关于绳索的长度]的第一个明确表达,” 哈里森(Michael Harrison),卡内基梅隆大学的数学家。 “这当然是进步。”

Ullisch承认,当然,它不会颠覆教科书或革新数学研究,因为这个问题是一个孤立的问题。 “它与其他问题无关,也没有嵌入数学理论中。”但是,即使是这样的有趣难题,也有可能引发新的数学思想,并帮助研究人员提出解决其他问题的新颖方法。

进入和离开the

这种类型的第一个问题发表在1748年的伦敦期刊中 女士日记:或者,女人的年鉴- 该出版物承诺将提出“艺术和科学方面的新改进,以及许多不同的细节”。

最初的方案涉及“绑在绅士公园的一匹马。”在这种情况下,马被绑在圆形围栏的外部。如果绳索的长度与围栏的周长相同,那么马匹可以喂食的最大面积是多少?此版本后来被归类为“外部问题”,因为它涉及到在圈内而不是圈内放牧。

答案出现在 日记 是1749年的版本。它由“先生先生”提供。希思(Heath)依靠“试验和对数表”以及其他资源来得出他的结论。

希思的答案-一条160码的绳子为76,257.86平方码-是一种近似而非精确的解决方案。为了说明差异,请考虑以下等式 x2 − 2 =0。可以得出近似的数值答案, x = 1.4142,但这不如精确的解决方案令人满意或令人满意, x = $ latex \ sqrt {2} $。

这个问题在1894年的第一期中重新出现 美国数学月刊,重铸为最初的“围栏放牧”问题(这次没有提及农场动物)。 Ullisch解释说,这种类型被归类为内部问题,并且比外部问题更具挑战性。在外部问题中,从圆的半径和绳索的长度开始,然后计算面积。您可以通过集成解决它。

Ullisch说:“从给定的区域开始,然后询问在该区域产生哪些输入的过程,要逆转此过程,就变得更加困难了。”

在随后的几十年中, 每月一次 出版了有关内部问题的变体,主要涉及马(至少在一种情况下是a子)而不是真人麻将,而围栏的形状是圆形,方形和椭圆形。但是在1960年代,出于神秘的原因,真人麻将开始在放牧问题文献中取代马匹,尽管数学家马歇尔·弗雷泽(Marshall Fraser)认为真人麻将可能“过于独立以致无法束缚马匹”。

高尺寸真人麻将

1984年,弗雷泽(Fraser)发挥了创造力,将问题从平坦的牧草领域带入了更广阔的领域。他 解决了 一根真人麻将需要多少时间才能放牧到刚好一半的体积 n维球体为 n 去无穷大。迈耶森(Meyerson)在论点中发现了逻辑缺陷, 纠正了弗雷泽的错误 那年晚些时候,但得出了相同的结论: n 接近无穷大时,束缚绳与球体半径的比率接近$ latex \ sqrt {2} $。

正如Meyerson所指出的那样,这种看似更复杂的框架来解决问题-在多维空间而不是在草地上-实际上使寻找解决方案变得容易。 “在无限的维度中,我们有一个明确的答案,而在二维中,没有如此明确的解决方案。”

1998年,也是海军学院数学家的迈克尔·霍夫曼(Michael Hoffman)在一个在线新闻组中遇到了一个外部问题的例子之后,又朝另一个方向扩展了这个问题。该版本试图量化绑在圆形筒仓外部的公牛的可用面积。这个问题引起了霍夫曼的兴趣,他决定将其推广到不仅是圆的外部,而且还可以推广到任何平滑的凸曲线,包括椭圆甚至不闭合的曲线。

霍夫曼说:“一旦看到一个简单情况下出现的问题,作为数学家,您通常会尝试看看如何将其概括。”

霍夫曼(Hoffman)考虑了这种情况 L)小于或等于曲线周长的一半。首先,他在与公牛皮带相连的位置绘制一条与曲线相切的线。公牛可以在面积π的半圆上吃草L2/ 2以切线为界。霍夫曼 然后设计 切线和曲线之间的空间的精确积分解决方案,以确定总的放牧面积。

最近,兰开斯特大学数学家 格雷厄姆·詹姆森(Graham Jameson) 与儿子尼古拉斯(Nicholas)一起详细研究了内部问题的三维情况,选择它是因为它受到的关注较少。由于真人麻将无法在三个维度上轻松移动,詹姆森夫妇将其称为“鸟类问题” 2017论文 :如果您将鸟拴在球形笼子内部的某个点,那么将鸟拴在鸟笼中的空间应为多长?

年长的詹姆森说:“三维问题实际上比二维问题更容易解决,”两人得出了精确的解决方案。但是,由于答案的数学形式(詹姆森称其为“精确(尽管太可怕了!”))对初学者来说是令人望而生畏的,因此他们还使用了近似技术来为“鸟类操纵者”的系绳长度提供数值答案。可能更喜欢。”

得到他的真人麻将

然而,直到1894年Ullisch发表论文之前,对于1894年以来的二维内部问题的精确解决方案仍然难以捉摸。乌利希(Ullisch)于2001年小时候就从亲戚那里听说了真人麻将问题。在获得明斯特大学博士学位后,他于2017年开始从事这项工作。他想尝试一种新方法。

那时众所周知,真人麻将问题可以简化为一个先验方程,根据定义,该方程包括正弦和余弦之类的三角项。由于许多超越方程是难解的,因此可能会造成障碍。 x = cos( x),例如,没有确切的解决方案。

但是Ullisch提出了一个问题,使他可以使用更易处理的先验方程:sin(β )– β cos( β)-π/ 2 =0。虽然这个方程似乎也难以管理,但他意识到他可以使用复杂分析来解决这个问题。复杂分析是数学的一个分支,将分析工具(包括微积分的工具)应用于包含复数的表达式。复杂的分析已经存在了多个世纪,但据Ullisch所知,他是第一个将这种方法应用于饥饿的真人麻将的人。

通过这种策略,他能够将他的先验方程式转化为等同于绳子长度的表达式,从而使真人麻将在围栏的一半处吃草。换句话说,他最终用精确的数学公式回答了这个问题。

不幸的是,有一个陷阱。 Ullisch的解决方案不是像2的平方根那样简单的方法,它更为抽象-两个所谓的轮廓积分表达式之比,其中包含大量三角项,实际上,它无法告诉您从某种意义上说,要使真人麻将的皮带牵引多久。仍然需要近似值才能获得对畜牧业人士有用的数字。

但是,即使解决方案并非整洁又简单,Ullisch仍然认为有一个精确解决方案的价值。他说:“如果仅使用数值(或近似值),我们将永远不会知道解决方案的内在本质。” “有了一个公式可以使我们进一步了解解决方案的组成方式。”

不放弃真人麻将

Ullisch目前尚不考虑放牧真人麻将,因为他不确定如何进一步发展,但其他数学家正在追求自己的想法。例如,哈里森(Harrison)在即将发表的一篇论文中 数学杂志 他利用球体的特性来攻击放牧真人麻将问题的三维概括。

Meyerson指出:“在数学中寻找新的答案的方法通常很有价值,甚至可以解决以前已经解决过的问题,因为也许可以将其推广到其他方面。”

这就是为什么这么多的数学墨水被用于想象中的农场动物的原因。哈里森说:“我的直觉说,在放牧真人麻将问题上不会有突破性的数学来,”但你永远不知道。新数学可以来自任何地方。”

霍夫曼更乐观。 Ullisch提出的超越方程与Hoffman研究的超越方程有关。 一种。霍夫曼对这些方程式的兴趣是由 1953年的一篇论文 通过以新的视角介绍已建立的方法,激发了进一步的工作。他认为Ullisch将复杂分析中的已知方法应用于先验方程的方式可能存在相似之处,这次是在涉及真人麻将的新颖环境中。

霍夫曼说:“并不是所有的数学进步都来自于取得根本性突破的人。” “有时,它包括研究经典方法并找到新的角度-一种将各个部分放在一起的新方法,这最终可能会带来新的结果。”

本文转载于  Wired.com .

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